ખરબચડી ઢળતી સપાટી પર એક લંબચોરસ બોક્સ પડેલું છે. બોક્સ અને સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu $ છે. બોક્સનું દળ $m$ લો, તો

$(a)$ સમક્ષિતિજ સાથેના ઢાળના ક્યા ખૂણે $(\theta )$ બોક્સ સપાટી પર નીચે તરફ સરકવાનું શરૂ કરશે.

$(b)$ જો ઢાળની સપાટીનો કોણ વધારીને $\alpha > \theta $ કરીએ તો બોક્સ પર નીચે તરફ લાગતું બળ કેટલું ?

$(c)$ બોક્સ સ્થિર રહે અથવા ઉપર તરફ નિયમિત ઝડપથી ગતિ શરૂ કરે તે માટે ઢાળની સપાટી ને સમાંતર ઉપર તરફ લગાડવું પડતું જરૂરી બળ કેટલું હશે ?

$(d)$ બોક્સને $a$ જેટલા પ્રવેગથી ઢાળ પર ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા કેટલું બળ જરૂરી હશે ? 

$(a)$ નીચે મુજબની આકૃતિ વિચારો જેમાં બોક્સ અને સપાટી વચ્ચે ઉપર તરફ ધર્ષણ બળ લાગે છે.

બોક્સ નીયે તરફ સરકવાની શરૂઆત કરે ત્યારે

$m g \sin \theta=f=\mu N$

$m g \sin \theta=\mu m g \cos \theta$

$\therefore \quad \mu=\tan \theta$ અથવા $\theta=\tan ^{-1}(\mu)$

$(b)$ જયારે ઢાળનો ખૂણો વધારીને $\alpha>\theta$ કરીએે તો બોક્સ પર પરિણામી બળ, સમતલને સમાંતર નીચે તરફ મળે.

$\therefore F_1$$=m g \sin \alpha-f$

$=m g \sin \alpha-\mu N$

$=m g \sin \alpha-\mu m g \cos \alpha$

$\therefore F_1 =m g(\sin \alpha-\mu \cos \alpha)$

(c) બોક્સને સ્થિર રાખવા કે અયળ ઝડપથી ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા જરૂરી બળ $F _{2}$ હોય તો ધર્ષણબળ નીયે તરફ ઢાળની સપાટ્ટીને સમાંતરે લાગે.

$\therefore F_2$$=m g \sin \alpha+f$

$=m g \sin \alpha+\mu N$

$\therefore F_2$$=m g(\sin \alpha+\mu \cos \alpha)$

$(d)$ બોક્સને ઢાળ પર ઉપર તરફ $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા જરૂી બળ $F _{3}$ હોય તો,

$\therefore F_3$$=m g \sin \alpha+f+m a$

$=m g \sin \alpha+\mu m g \cos \alpha+m a[\because f=\mu N =\mu m g \cos \alpha]$

$=m g(\sin \alpha+\mu \cos \alpha)+m a$

$\therefore F_3=$$m[g(\sin \alpha+\mu \cos \alpha)+a]$