એક લંબચોરસ જેની એક બાજુ x-અક્ષ પર હોય,તેને $xy$ સમતલના $y = 0$,$y = 3x$ અને $y = 30 - 2x$ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશમાં અંતર્ગત કરવામાં આવે છે. આવા લંબચોરસનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ કેટલું હશે?

$\left\{( x , y ) \in R \times R : 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \text{ and } 0 \leq y \leq 2 \sin (2 x )\right\}$ પ્રદેશમાં આવેલા તમામ લંબચોરસનો વિચાર કરો,જેની એક બાજુ $x$-અક્ષ પર છે. આવા તમામ લંબચોરસ પૈકી મહત્તમ પરિમિતિ ધરાવતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$a$ ની ધન કિંમત શોધો જેના માટે સમાનતા $2 \alpha + \beta = 8$ સાચી છે,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ એ વિધેય $f(x) = 2 x^3 - 9 a x^2 + 12 a^2 x + 1$ ના અનુક્રમે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે.

અંતરાલ $\left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ પર $f(x)=\tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \ln x$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધો.

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો $\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $P$ એ $12 \text{ cm}$ લંબાઈના રેખાખંડ $AB$ પરનું એક બિંદુ હોય,તો $AP^{2} + BP^{2}$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $P$ નું સ્થાન કેવું હશે?