एक वक्र जो प्रारंभिक शर्त y(1) = 0 को संतुष्ट | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है,इसलिए $y \cdot \frac{1}{x} = \int (-x) \cdot \frac{1}{x} dx + C$।$y \cdot \frac{1}{x} = \int -1 dx + C = -x + C$,जिससे $y = -x^2 + Cx$ प्राप्त होता है।प्रारंभिक शर्त $y(1) = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $0 = -1^2 + C(1)$ मिलता है,इसलिए $C = 1$ है।वक्र का समीकरण $y = x - x^2$ है।वक्र $x$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $y = 0$ है,इसलिए $x - x^2 = 0$,जो $x(1 - x) = 0$ देता है,अर्थात $x = 0$ और $x = 1$ है।वक्र और $x$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ है।

Similar Questions

एक आदर्श गैस के दाब बनाम तापमान के ग्राफ चित्र में दिखाए गए हैं। गलत कथन चुनिए।

निम्नलिखित में से कौन सा यौगिक एक एंटासिड नहीं है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module