(x^2+y^2) dy = xy dx है। यदि y(x_0) = e और y( | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dy = xy dx$,जिसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मा

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$\sqrt{3} e$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dy = xy dx$,जिसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = \frac{-v^3}{1+v^2}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1+v^2}{-v^3} dv = \int \frac{1}{x} dx$.$\int (-v^{-3} - v^{-1}) dv = \ln|x| + C$.$\frac{v^{-2}}{2} - \ln|v| = \ln|x| + C \Rightarrow \frac{1}{2v^2} = \ln|vx| + C = \ln|y| + C$.चूंकि $y(1) = 1$,इसलिए $\frac{1}{2(1)^2} = \ln(1) + C$,जिससे $C = \frac{1}{2}$.अतः,$\frac{1}{2v^2} = \ln|y| + \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x^2}{2y^2} = \ln|y| + \frac{1}{2}$.$y(x_0) = e$ दिया गया है,इसलिए $x = x_0$ और $y = e$ रखने पर: $\frac{x_0^2}{2e^2} = \ln(e) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.$x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

$(x^2+y^2) dy = xy dx$ है। यदि $y(x_0) = e$ और $y(1) = 1$ है,तो $x_0$ का मान ज्ञात कीजिए।

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