(x^2+y^2) dy = xy dx. જો y(x_0) = e અને y(1) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$,જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3} e$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$,જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = \frac{-v^3}{1+v^2}$.ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1+v^2}{-v^3} dv = \int \frac{1}{x} dx$.$\int (-v^{-3} - v^{-1}) dv = \ln|x| + C$.$\frac{v^{-2}}{2} - \ln|v| = \ln|x| + C \Rightarrow \frac{1}{2v^2} = \ln|vx| + C = \ln|y| + C$.$y(1) = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{2(1)^2} = \ln(1) + C$,તેથી $C = \frac{1}{2}$.આમ,$\frac{1}{2v^2} = \ln|y| + \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x^2}{2y^2} = \ln|y| + \frac{1}{2}$.$y(x_0) = e$ આપેલ છે,તેથી $x = x_0$ અને $y = e$ મૂકતા: $\frac{x_0^2}{2e^2} = \ln(e) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.$x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

$(x^2+y^2) dy = xy dx$. જો $y(x_0) = e$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $x_0$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$x+y+1=0$ અને સુરેખ રેખાઓની જોડી $x^2-3xy+2y^2=0$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

નીચેના રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયમાં ઉત્સર્જિત $\alpha$ અને $\beta$ કણોની સંખ્યા અનુક્રમે કેટલી હશે: ${}_{90}^{200}X \to {}_{80}^{168}Y$?

નીચેનામાંથી કઈ રચના અથવા પ્રદેશ તેના કાર્ય સાથે ખોટી રીતે જોડાયેલ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module