समाकलन int frac{log x - (log x)^2 + x^2}{x^3} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{\log x - (\log x)^2 + x^2}{x^3} dx$. हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int \frac{\log x - (\log x)^2}{x^3} dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{(\log x)^2 + 2x^2 \log x}{2x^2} + C$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{\log x - (\log x)^2 + x^2}{x^3} dx$. हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int \frac{\log x - (\log x)^2}{x^3} dx + \int \frac{x^2}{x^3} dx$. $I = \int \frac{\log x(1 - \log x)}{x^3} dx + \int \frac{1}{x} dx$. माना $u = \frac{\log x}{x}$. तब $du = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} dx = \frac{1 - \log x}{x^2} dx$. प्रथम भाग में यह मान रखने पर: $\int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2x^2}$. दूसरे भाग में $\int \frac{1}{x} dx = \log x$. अतः,$I = \frac{(\log x)^2}{2x^2} + \log x + C = \frac{(\log x)^2 + 2x^2 \log x}{2x^2} + C$.

समाकलन $\int \frac{\log x - (\log x)^2 + x^2}{x^3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है)।

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