int {frac{{sec x(1 + tan x)dx}}{{({e^{ - x}} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sec x(1 + 	an x)dx}{e^{-x} + \sec x}$ है।अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{e^x \sec x(1 + 	an

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$\ln \left( {1 + {e^{\frac{\pi }{4}}}\sqrt 2 } \right)$

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(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sec x(1 + 	an x)dx}{e^{-x} + \sec x}$ है।अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{e^x \sec x(1 + 	an x)dx}{1 + e^x \sec x}$.माना $t = 1 + e^x \sec x$ है। तब $dt = (e^x \sec x + e^x \sec x 	an x) dx = e^x \sec x(1 + 	an x) dx$ होगा।अतः,$I = \int \frac{dt}{t} = \ln |t| + C = \ln |1 + e^x \sec x| + C$.इस प्रकार,$f(x) = \ln(1 + e^x \sec x) + C$.दिया है कि $f(0) = \ln 2$,इसलिए $\ln(1 + e^0 \sec 0) + C = \ln 2 \Rightarrow \ln(1 + 1) + C = \ln 2 \Rightarrow \ln 2 + C = \ln 2 \Rightarrow C = 0$.अतः,$f(x) = \ln(1 + e^x \sec x)$ है।अब,$f\left( \frac{\pi}{4} ight) = \ln(1 + e^{\frac{\pi}{4}} \sec \frac{\pi}{4}) = \ln(1 + e^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2})$.सही विकल्प $A$ है।

$\int {\frac{{\sec x(1 + \tan x)dx}}{{({e^{ - x}} + \sec x)}}} = f(x) + C$ जहाँ $f(0) = \ln 2$ है,तो $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ का मान क्या है?

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