sumlimits_{n = 1}^infty {sumlimits_{k = 1}^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $S = \sum\limits_{n = 1}^\infty \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{k}{2^{n+k}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{9}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $S = \sum\limits_{n = 1}^\infty \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{k}{2^{n+k}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{k}{2^k}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} k x^k = \frac{x(1 - nx^{n-1} + (n-1)x^n)}{(1-x)^2}$.$x = \frac{1}{2}$ માટે,$\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}$.આ કિંમત મૂકતા,$S = \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n} (2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}) = \sum\limits_{n = 1}^\infty (\frac{1}{2^{n-1}} - \frac{n+1}{2^{2n-1}})$.$S = 2 - 2 \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{n+1}{4^n} = 2 - 2(\frac{7}{9}) = \frac{4}{9}$.

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{k}{{{2^{n + k}}}}} } $ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

શ્રેણી $\frac{1^{2}}{1}+\frac{1^{2}+2^{2}}{1+2}+\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{1+2+3}+\ldots$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

શ્રેણી $1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

જો શ્રેણી ${\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \dots$ ના પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $\frac{16}{5}m$ હોય,તો $m$ ની કિંમત શોધો:

શ્રેણી $\frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 3 + 5} + \dots$ ના $8$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module