$\int\limits_a^b [x] \,dx + \int\limits_a^b [-x] \,dx$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,किसके बराबर है?

$\tan ^{-1}\left[\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^x} d x\right]=$

मान लीजिए $f : R \to R$ एक फलन है,जिसके लिए सभी $x \in R$ के लिए $f(2 - x) = f(2 + x)$ और $f(4 - x) = f(4 + x)$ है। यदि $\int_{0}^{2} f(x) dx = 5$ है,तो $\int_{10}^{50} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^{3} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^{2}+1}{x} \right) \right] dx =$

माना $u = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{{x^2} + 1}}} \,dx$ और $v = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (\sin 2x)} \,dx$,तो: