mathop {Lim}limits_{n to infty } int_0^2 {lef | vedclass

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Question

(C) माना $I_n = \int_0^2 {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} \right)^n} dt$ है। हम जानते हैं कि $\frac{d}{dt} {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} \right)^{n +

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$e^2 - 1$

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(C) माना $I_n = \int_0^2 {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} ight)^n} dt$ है। हम जानते हैं कि $\frac{d}{dt} {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} ight)^{n + 1}} = (n + 1) {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} ight)^n} \cdot \frac{1}{{n + 1}} = {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} ight)^n}$ होता है। अतः,समाकलन इस प्रकार होगा: $I_n = \left[ {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} ight)^{n + 1}} ight]_0^2$। सीमाओं का मान रखने पर: $I_n = {\left( {1 + \frac{2}{{n + 1}}} ight)^{n + 1}} - {\left( {1 + 0} ight)^{n + 1}} = {\left( {1 + \frac{2}{{n + 1}}} ight)^{n + 1}} - 1$। जब $n 	o \infty$ हो,तब सीमा लेने पर: $\mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } I_n = \mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } {\left( {1 + \frac{2}{{n + 1}}} ight)^{n + 1}} - 1$। मानक सीमा $\mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x}} ight)^x} = e^a$ का उपयोग करने पर: $\mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } I_n = e^2 - 1$।

$\mathop {Lim}\limits_{n \to \infty } \int_0^2 {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} \right)^n} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $[x]$ सबसे बड़े पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है। फलन $f(x) = \max \{x^2, 1 + [x]\}$ पर विचार करें। तब समाकल $\int_0^2 f(x) dx$ का मान है:

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