समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: int_0^{pi /2} frac | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{1 + 2\cos x}{(2 + \cos x)^2} dx$. अंश को $2(2 + \cos x) - 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$I = \int_0^{\pi /2}

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$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{1 + 2\cos x}{(2 + \cos x)^2} dx$. अंश को $2(2 + \cos x) - 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$I = \int_0^{\pi /2} \frac{2(2 + \cos x) - 3}{(2 + \cos x)^2} dx = 2 \int_0^{\pi /2} \frac{1}{2 + \cos x} dx - 3 \int_0^{\pi /2} \frac{1}{(2 + \cos x)^2} dx$. प्रतिस्थापन $t = 	an(x/2)$ का उपयोग करने पर,$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ और $dx = \frac{2 dt}{1 + t^2}$ प्राप्त होता है। जब $x$,$0$ से $\pi/2$ तक जाता है,तो $t$,$0$ से $1$ तक जाता है। $I = 2 \int_0^1 \frac{1}{2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1 + t^2} - 3 \int_0^1 \frac{1}{(2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2})^2} \cdot \frac{2 dt}{1 + t^2} = 4 \int_0^1 \frac{dt}{3 + t^2} - 6 \int_0^1 \frac{1 + t^2}{(3 + t^2)^2} dt$. दूसरे समाकलन के लिए खंडशः समाकलन या रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करने पर,अंतिम उत्तर $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\pi /2} \frac{1 + 2\cos x}{(2 + \cos x)^2} dx$

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