int_{1/4}^{1/2} frac{dx}{sqrt{x - x^2}} = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{x - x^2}}$.वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर पुनः लिखने पर:$x - x^2 = -(x^2 - x) = -((x - 1

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$\frac{\pi}{6}$

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(D) माना $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{x - x^2}}$.वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर पुनः लिखने पर:$x - x^2 = -(x^2 - x) = -((x - 1/2)^2 - 1/4) = (1/2)^2 - (x - 1/2)^2$.अतः,$I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{(1/2)^2 - (x - 1/2)^2}}$.मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:$I = [\sin^{-1}(\frac{x - 1/2}{1/2})]_{1/4}^{1/2} = [\sin^{-1}(2x - 1)]_{1/4}^{1/2}$.सीमाओं पर मान रखने पर:$I = \sin^{-1}(2(1/2) - 1) - \sin^{-1}(2(1/4) - 1) = \sin^{-1}(0) - \sin^{-1}(-1/2)$.$I = 0 - (-\pi/6) = \pi/6$.

$\int_{1/4}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{x - x^2}} = $

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यदि ${I_1} = \int_0^1 {2^{x^2}} dx$,${I_2} = \int_0^1 {2^{x^3}} dx$,${I_3} = \int_1^2 {2^{x^2}} dx$,और ${I_4} = \int_1^2 {2^{x^3}} dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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