intlimits_0^pi {frac{{sin left( {n + frac{1}{ | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $2\sin \frac{x}{2} \left( {\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx} \right) = \sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^n 2\sin \frac

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$\pi $

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(C) हम जानते हैं कि $2\sin \frac{x}{2} \left( {\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx} \right) = \sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^n 2\sin \frac{x}{2} \cos kx$। सर्वसमिका $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर: $2\sin \frac{x}{2} \cos kx = \sin \left( k + \frac{1}{2} \right)x - \sin \left( k - \frac{1}{2} \right)x$। $k=1$ से $n$ तक योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है: $\sin \frac{x}{2} + \left( \sin \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right) + \dots + \left( \sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x - \sin \left( n - \frac{1}{2} \right)x \right) = \sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x$। अतः,$\frac{\sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x}{\sin \frac{x}{2}} = 1 + 2\cos x + 2\cos 2x + \dots + 2\cos nx$। अब,$0$ से $\pi$ तक समाकलन करने पर: $\int_0^\pi \left( 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos kx \right) dx = \left[ x + 2\sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}{k} \right]_0^\pi$। चूंकि सभी पूर्णांक $k$ के लिए $\sin(k\pi) = 0$ है,इसलिए समाकलन का मान $\pi - 0 = \pi$ प्राप्त होता है।

$\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)x}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \,dx$,$(n \in N)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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