int_{0}^{infty} frac{x , dx}{(1 + x)(1 + x^2) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac

Vedclass · Accepted Answer

$\pi / 4$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 + x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}$. અચળાંકો શોધતા,આપણને $A = -1/2$,$B = 1/2$,અને $C = 1/2$ મળે છે. તેથી,$I = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{-1/2}{1 + x} + \frac{1/2 x + 1/2}{1 + x^2} ight) \, dx$. $I = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{1 + x^2} \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$. સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1 + x) + \frac{1}{4} \ln(1 + x^2) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$. $I = \left[ \frac{1}{4} \ln\left( \frac{1 + x^2}{(1 + x)^2} ight) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$. જ્યારે $x 	o \infty$,ત્યારે $\frac{1 + x^2}{(1 + x)^2} 	o 1$,તેથી $\ln(1) = 0$. $I = (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (0 + 0) = \frac{\pi}{4}$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \, dx}{(1 + x)(1 + x^2)} = $

Similar Questions

નીચેના સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{1}^{2} \frac{x \, dx}{(x+1)(x+2)}$

$\int\limits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt$ નું ન્યુનતમ મૂલ્ય કેટલું છે?

ધારો કે $f(x) = \{x\}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે. તો,$\int_{0}^{\sqrt{3}} f(x^2) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = $ . . . . . . .

$\int\limits_0^1 {x\,\ln \left( {1 + \frac{x}{2}} \right)\,dx} =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module