int_0^infty frac{dx}{(x + sqrt{x^2 + 1})^3} = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\infty \frac{dx}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^3}$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।

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$\frac{3}{8}$

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(A) माना $I = \int_0^\infty \frac{dx}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^3}$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x = 0$,तब $	heta = 0$. जब $x 	o \infty$,तब $	heta 	o \frac{\pi}{2}$.समाकलन इस प्रकार होगा:$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{(	an 	heta + \sec 	heta)^3}$$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{(\frac{\sin 	heta + 1}{\cos 	heta})^3} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta \cos^3 	heta}{(1 + \sin 	heta)^3} \, d	heta$$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos 	heta}{(1 + \sin 	heta)^3} \, d	heta$माना $u = 1 + \sin 	heta$,तब $du = \cos 	heta \, d	heta$.जब $	heta = 0, u = 1$. जब $	heta = \frac{\pi}{2}, u = 2$.$I = \int_1^2 u^{-3} \, du = \left[ \frac{u^{-2}}{-2} ight]_1^2 = \left[ -\frac{1}{2u^2} ight]_1^2$$I = -\frac{1}{2(4)} - (-\frac{1}{2(1)}) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.

$\int_0^\infty \frac{dx}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^3} = $

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मान लीजिए $[x]$ सबसे बड़े पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है। फलन $f(x) = \max \{x^2, 1 + [x]\}$ पर विचार करें। तब समाकल $\int_0^2 f(x) dx$ का मान है:

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \, dx}{(1 + x)(1 + x^2)} = $

$\int_0^1 x \left|x - \frac{1}{2}\right| dx = $

$\int_0^{2\pi} (\sin x + \cos x) \, dx = $

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