int_0^infty {frac{{x,dx}}{{(1 + x)(1 + {x^2}) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 +

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{4}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 + x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}$. અચળાંકો માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $x = A(1 + x^2) + (Bx + C)(1 + x)$. $x = -1$ માટે,$-1 = A(2) \implies A = -1/2$. $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$0 = A + B \implies B = 1/2$. અચળાંકોની સરખામણી કરતા,$0 = A + C \implies C = 1/2$. આમ,$\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{x + 1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x} ight) = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x} ight)$. $0$ થી $\infty$ સુધી સંકલન કરતા: $I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + 	an^{-1}(x) - \ln(1 + x) ight]_0^\infty$. $I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x^2}{(1 + x)^2}ight) + 	an^{-1}(x) ight]_0^\infty$. જેમ $x 	o \infty$,$\frac{1 + x^2}{(1 + x)^2} 	o 1$,તેથી $\ln(1) = 0$. $I = \frac{1}{2} [0 + \frac{\pi}{2} - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4}$.

$\int_0^\infty {\frac{{x\,dx}}{{(1 + x)(1 + {x^2})}}} = $

Similar Questions

જો $\int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx = \alpha + \frac{\beta }{{\log 2}},$ હોય,તો

જો $\cos x + \cos 2x + \ldots + \cos nx = \frac{A(x)}{2 \sin(x/2)}$ હોય,તો $\int_0^\pi A(x) dx =$

જો ${I_n} = \int_0^\infty {{e^{ - x}}{x^{n - 1}}dx,} $ હોય,તો $\int_0^\infty {{e^{ - \lambda x}}{x^{n - 1}}dx = } $

ધારો કે $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો $8 \cdot \int \limits_{-\frac{1}{2}}^{1}([2 x]+|x|) \,d x$ નું મૂલ્ય .... છે.

$\int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{dx}{1 + \cos x}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module