int_0^pi frac{x , dx}{1 + sin x} का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi

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$\pi$

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(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{1 + \sin(\pi - x)}$$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{1 + \sin x}$ ....$(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi \frac{x + \pi - x}{1 + \sin x} \, dx = \pi \int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} \, dx$अंश और हर को $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर:$2I = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} \, dx = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} \, dx$$2I = \pi \int_0^\pi (\sec^2 x - \sec x 	an x) \, dx$पदों का समाकलन करने पर:$2I = \pi [	an x - \sec x]_0^\pi$$2I = \pi [(	an \pi - \sec \pi) - (	an 0 - \sec 0)]$$2I = \pi [(0 - (-1)) - (0 - 1)]$$2I = \pi [1 + 1] = 2\pi$$I = \pi$

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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