$\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = $

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને $M=\int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx,$ $N=\int_{f(a)}^{f(1-a)} \sin^4(x(1-x)) dx;$ $a \neq \frac{1}{2}.$ જો $\alpha M=\beta N,$ $\alpha, \beta \in N$ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $.....$ છે.

$\int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : R \to R$ એક વિધેય છે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(2 - x) = f(2 + x)$ અને $f(4 - x) = f(4 + x)$ છે. જો $\int_{0}^{2} f(x) dx = 5$ હોય,તો $\int_{10}^{50} f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$g(\alpha)$ માટે નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે,જ્યાં $\alpha \in R$ અને $g(\alpha)=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x}{\cos^{\alpha} x+\sin^{\alpha} x} dx$ છે?