int [sin (log x) + cos (log x)] ;dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int [\sin (\log x) + \cos (\log x)] \;dx$ है। हम समाकलन को $I = \int \sin (\log x) \;dx + \int \cos (\log x) \;dx$ के रूप में विभाजित क

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$x \sin (\log x) + c$

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(D) माना $I = \int [\sin (\log x) + \cos (\log x)] \;dx$ है। हम समाकलन को $I = \int \sin (\log x) \;dx + \int \cos (\log x) \;dx$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं। प्रथम समाकलन $\int \sin (\log x) \;dx$ पर विचार करें। माना $u = \log x$,तब $x = e^u$ और $dx = e^u \;du$ होगा। अतः,$\int \sin (\log x) \;dx = \int e^u \sin u \;du$। सूत्र $\int e^u \sin u \;du = \frac{e^u}{2} (\sin u - \cos u) + c_1$ का उपयोग करने पर,हमें $\int \sin (\log x) \;dx = \frac{x}{2} [\sin (\log x) - \cos (\log x)] + c_1$ प्राप्त होता है। इसी प्रकार,$\int \cos (\log x) \;dx = \int e^u \cos u \;du = \frac{e^u}{2} (\sin u + \cos u) + c_2 = \frac{x}{2} [\sin (\log x) + \cos (\log x)] + c_2$। इन दोनों को जोड़ने पर,$I = \frac{x}{2} [\sin (\log x) - \cos (\log x)] + \frac{x}{2} [\sin (\log x) + \cos (\log x)] + c$। $I = \frac{x}{2} [2 \sin (\log x)] + c = x \sin (\log x) + c$।

$\int [\sin (\log x) + \cos (\log x)] \;dx = $

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