$\int_{1/5}^{1/2} \frac{\sqrt{x-x^2}}{x^3} dx =$

$\int_{\log _e 2}^x \frac{d t}{\sqrt{e^t-1}}=\frac{\pi}{6} \Rightarrow x=$

ધારો કે $2^{1-a} + 2^{1+a}$,$f(a)$,$3^a + 3^{-a}$ એ $A$.$P$. માં છે અને $\alpha$ એ $f(a)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત છે. તો સંકલન $\int_{\log_e(\alpha-1)}^{\log_e(\alpha)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}}$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y=f(x)$ એ $(-5,5)$ માં ત્રણ વાર વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે વક્ર $y=f(x)$ ના $(1, f(1))$ અને $(3, f(3))$ આગળના સ્પર્શકો ધન $x$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{\pi}{4}$ ના ખૂણા બનાવે છે. જો $27 \int_1^3\left(\left(f^{\prime}(t)\right)^2+1\right) f^{\prime \prime}(t) d t=\alpha+\beta \sqrt{3}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{\pi /3}^{\pi /2} \frac{\sqrt{1 + \cos x}}{(1 - \cos x)^{5/2}} \,dx = $

નિશ્ચિત સંકલન $\int\limits_0^{\sqrt {\ln \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} } {\cos \left( {{e^{{x^2}}}} \right)} \cdot 2x {e^{{x^2}}}dx$ નું મૂલ્ય શોધો.