एक बिंदु $xy$-समतल में इस प्रकार गति करता है कि दो परस्पर लंबवत रेखाओं से उसकी दूरियों का योग हमेशा $5$ इकाई रहता है। बिंदु के बिंदुपथ द्वारा घिरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है

$5$-अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो $5$ से विभाज्य नहीं हैं और जिनमें अलग-अलग विषम अंकों का उपयोग किया गया है?

यदि $f(x)$ परिमेय गुणांकों वाला $n$ घात का एक बहुपद है और $1+2i, 2-\sqrt{3}$ तथा $5$ इसके तीन मूल हैं,तो $n$ का न्यूनतम मान क्या है?

यदि $x=9$ अतिपरवलय $x^2-y^2=9$ की स्पर्श-जीवा (chord of contact) है,तो स्पर्श-बिंदुओं में से एक पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या होगा?

टिन (tin) का सबसे महत्वपूर्ण अयस्क है:

$500\, K$ पर शुद्ध $Si$ में इलेक्ट्रॉन $(n_e)$ और होल $(n_h)$ की सांद्रता समान $1.5 \times 10^{16} \,m^{-3}$ है। इंडियम द्वारा डोपिंग करने पर $n_h$ बढ़कर $4.5 \times 10^{22} \,m^{-3}$ हो जाता है। तो यह डोप्ड अर्धचालक किस प्रकार का है?