int_{0}^{frac{pi}{2}} left( frac{1 + sin 3y}{ | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $\sin 3y = 3\sin y - 4\sin^3 y$ होता है। इसे समाकल्य में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1 + 3\sin y - 4\sin^3 y}{1 + 2\sin y}$ प्राप

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(D) हम जानते हैं कि $\sin 3y = 3\sin y - 4\sin^3 y$ होता है। इसे समाकल्य में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1 + 3\sin y - 4\sin^3 y}{1 + 2\sin y}$ प्राप्त होता है। बहुपद विभाजन या गुणनखंड का उपयोग करने पर: $1 + 3\sin y - 4\sin^3 y = (1 + 2\sin y)(1 + \sin y - 2\sin^2 y)$। अतः,समाकल्य $1 + \sin y - 2\sin^2 y$ में सरल हो जाता है। अब,$y$ के सापेक्ष $0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक समाकलन करने पर: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin y - 2\sin^2 y) dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin y - (1 - \cos 2y)) dy$। $= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin y + \cos 2y) dy$। $= [-\cos y + \frac{1}{2}\sin 2y]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$। $= (-\cos \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin \pi) - (-\cos 0 + \frac{1}{2}\sin 0)$। $= (0 + 0) - (-1 + 0) = 1$।

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 + \sin 3y}{1 + 2\sin y} \right) dy$ का मान किसके बराबर है?

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$\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sum_{k=1}^n \sin^{k-1} x\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) \sin^{k-1} x\right) \cos x \, dx$,जहाँ $n \in N$ है। तो $f_{21} - f_{20}$ का मान $...........$ है।

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