બે કણો $P$ અને $Q$ સમાન આવર્તકાળ અને સમાન કંપવિસ્તાર સાથે,એક જ રેખા પર,એક જ સંતુલન સ્થાન $O$ ની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. જ્યારે $P$ અને $Q$ એ $O$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર $O$ થી સમાન અંતરે હોય,ત્યારે તેમની ઝડપ સમાન દિશામાં $1.2 \, m/s$ છે. જ્યારે તેમના સ્થાનાંતર સમાન હોય,ત્યારે તેમની ઝડપ વિરુદ્ધ દિશામાં $1.6 \, m/s$ છે. કોઈપણ કણનો મહત્તમ વેગ $m/s$ માં કેટલો હશે?

સરળ આવર્ત ગતિ કરતી એક વસ્તુનો મહત્તમ પ્રવેગ $24 \, m/s^2$ અને મહત્તમ વેગ $16 \, m/s$ છે. તો આ સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે?

કોલમ $I$ માં નાની વસ્તુની ગતિની કેટલીક પરિસ્થિતિઓ વર્ણવેલ છે. કોલમ $II$ માં આ ગતિના કેટલાક લક્ષણો વર્ણવેલ છે. કોલમ $I$ ની પરિસ્થિતિને કોલમ $II$ ના લક્ષણો સાથે જોડો.

કોલમ $I$	કોલમ $II$
$(A)$ પદાર્થ $x$-અક્ષ પર સંરક્ષી બળ હેઠળ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેની ઝડપ $v = c_1 \sqrt{c_2 - x^2}$ છે,જ્યાં $c_1, c_2 > 0$.	$(p)$ પદાર્થ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.
$(B)$ પદાર્થ $x$-અક્ષ પર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેનો વેગ $v = -kx$ છે,જ્યાં $k > 0$.	$(q)$ પદાર્થ તેની દિશા બદલતો નથી.
$(C)$ એક પદાર્થ લિફ્ટમાં સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે જે $a$ પ્રવેગથી ઉપર જાય છે. લિફ્ટમાંથી ગતિનું અવલોકન કરવામાં આવે છે.	$(r)$ પદાર્થની ગતિઊર્જા સતત ઘટતી જાય છે.
$(D)$ પદાર્થને $2 \sqrt{GM_e / R_e}$ ની ઝડપથી શિરોલંબ ઉપર ફેંકવામાં આવે છે.	$(s)$ પદાર્થ માત્ર એક જ વાર દિશા બદલી શકે છે.

ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ તમામ પ્રકારની ગતિશીલ સમસ્યાઓના વિશ્લેષણમાં ઉપયોગી સાધનો છે. જ્યારે પ્રારંભિક સ્થાન અને વેગમાન બદલાય ત્યારે ગતિમાં થતા ફેરફારોનો અભ્યાસ કરવામાં તે ખાસ કરીને ઉપયોગી છે. અહીં આપણે એક પરિમાણમાં કેટલીક સરળ ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો વિચાર કરીએ છીએ. આવી પ્રણાલીઓ માટે, ફેઝ સ્પેસ એ એક સમતલ છે જેમાં સ્થાનને આડી ધરી પર અને વેગમાનને ઊભી ધરી પર આલેખવામાં આવે છે. ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ એ આ સમતલમાં $x(t)$ વિરુદ્ધ $p(t)$ વક્ર છે. વક્ર પરનું તીર સમયનો પ્રવાહ સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અચળ વેગ સાથે ગતિ કરતા કણ માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ એક સીધી રેખા છે. આપણે ચિહ્ન સંજ્ઞાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જેમાં ઉપરની તરફ (અથવા જમણી તરફ) સ્થાન અથવા વેગમાન ધન છે અને નીચેની તરફ (અથવા ડાબી તરફ) ઋણ છે.
$1.$ જમીન પરથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ કયો છે?
$2.$ સરળ આવર્ત ગતિ માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ છે. આકૃતિમાં, બે વર્તુળો સમાન ઓસિલેટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે પરંતુ અલગ-અલગ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ માટે, અને $E_1$ અને $E_2$ અનુક્રમે કુલ યાંત્રિક ઉર્જા છે. તો:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ પાણીમાં ડૂબેલા દળ સાથેની સ્પ્રિંગ-માસ સિસ્ટમનો વિચાર કરો, જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આ સિસ્ટમના એક ચક્ર માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ કયો છે?
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

એક આદર્શ વાયુને ઉભી નળાકાર પાત્રમાં રાખેલ છે જે $M$ દળના મુક્ત રીતે ગતિ કરતા પિસ્ટનને ટેકો આપે છે। પિસ્ટન અને નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે। જ્યારે પિસ્ટન સંતુલનમાં હોય, ત્યારે વાયુનું કદ $V_0$ અને તેનું દબાણ $P_0$ છે। પિસ્ટનને સંતુલન સ્થિતિમાંથી થોડું સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે। ધારો કે સિસ્ટમ તેના આસપાસના વાતાવરણથી સંપૂર્ણપણે અલગ છે, તો પિસ્ટન કઈ આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે?

બે દોલિત તંત્રો; એક સાદું લોલક અને એક ઉર્ધ્વ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર,પૃથ્વીની સપાટી પર સમાન આવર્તકાળ ધરાવે છે. જો બંનેને ચંદ્ર પર લઈ જવામાં આવે,તો-