सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 6}&1\\{ - 1}&{ - 1}&1\\{ - 4}&{11}&{ - 1\,}\end{array}} \right|$ का मान है

माना कि $P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1\end{array}\right]$ और $I$ तीन कोटि (order $3$) का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। यदि $Q=\left[q_{i j}\right]$ एक आव्यूह इस प्रकार है कि $P^{50}-Q=I$ है, तब $\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}}$ का मान है

यदि ${U_n} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}n&1&5\\{{n^2}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{{n^3}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}\,} \right|$ , तब $\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} $ का मान है

सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$

यदि $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}-\sin ^{2} \theta & -1-\sin ^{2} \theta & 1 \\ -\cos ^{2} \theta & -1-\cos ^{2} \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2\end{array}\right|$ द्वारा परिभाषित फलन $f :\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ के निम्नतम तथा उच्चतम मान क्रमशः $m$ तथा $M$ हैं, तो क्रमित युग्म $( m , M )$ बराबर है

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{{(a + 1)}^2}}&{{{(b + 1)}^2}}&{{{(c + 1)}^2}}\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}\,} \right| = $