નિશ્ચિત સંકલન intlimits_0^{frac{pi }{2}} {fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I_n = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(nx) - \sin((n-2)x) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$. તે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{2}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I_n = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(nx) - \sin((n-2)x) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$. તેથી,$\frac{\sin(nx)}{\sin x} - \frac{\sin((n-2)x)}{\sin x} = 2 \cos((n-1)x)$. બંને બાજુ $0$ થી $\frac{\pi}{2}$ સુધી સંકલન કરતા: $I_n - I_{n-2} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos((n-1)x) dx = \left[ \frac{2 \sin((n-1)x)}{n-1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$. $n=5$ માટે: $I_5 - I_3 = \left[ \frac{2 \sin(4x)}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\sin(2\pi) - \sin(0)) = 0$. આમ,$I_5 = I_3$. તેવી જ રીતે,$I_3 - I_1 = \left[ \frac{2 \sin(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = [\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0$. આમ,$I_3 = I_1$. અંતે,$I_1 = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$I_5 = I_3 = I_1 = \frac{\pi}{2}$.

નિશ્ચિત સંકલન $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 5x}}{{\sin x}}\,dx} $ નું મૂલ્ય છે

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$4 \int_0^1 \left(\frac{1}{\sqrt{3+x^2}+\sqrt{1+x^2}}\right) dx - 3 \log_e(\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો :

ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને $4$ સમાન અંતરાલો સાથે $\int_{1}^{9} x^2 dx$ નું આશરે મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{|x|}}$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_{0}^{\pi/4} \sqrt{1+\sin 2x} dx = \rule{1cm}{0.15mm}$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module