निश्चित समाकलन intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{ | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 \,dx = \sec^2 	heta \,d	heta$,अतः $d

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$\frac{\pi \ln 2}{16}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 \,dx = \sec^2 	heta \,d	heta$,अतः $dx = \frac{1}{2} \sec^2 	heta \,d	heta$.जब $x = 0$,तो $	heta = 0$. जब $x = 1/2$,तो $	an 	heta = 1$,अतः $	heta = \pi/4$.समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + 	an 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 	heta \,d	heta$.चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए $I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) \,d	heta$.गुणधर्म $\int\limits_0^a f(x) \,dx = \int\limits_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an(\pi/4 - 	heta)) \,d	heta$.चूंकि $	an(\pi/4 - 	heta) = \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}$,इसलिए $1 + 	an(\pi/4 - 	heta) = 1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta} = \frac{2}{1 + 	an 	heta}$.अतः,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) \,d	heta = \frac{1}{2} [	heta \ln 2]_0^{\pi/4} - I$.$2I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \ln 2 = \frac{\pi \ln 2}{8}$.अतः,$I = \frac{\pi \ln 2}{16}$.

निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$ का मान किसके बराबर है?

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यदि $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ दिया गया है,तो निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x)$ एक सम फलन (even function) है जिसका आवर्तकाल $2$ है और $f(x)$ प्रत्येक अंतराल पर समाकलनीय है। यदि $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ है,तो $g(x+2) =$

यदि $f(\alpha) = \int_{1}^{\alpha} \frac{\log_{10} t}{1+t} dt, \alpha > 0$ है,तो $f(e^{3}) + f(e^{-3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{n\pi + v} {|\sin x|\,dx} $ का मान क्या है?

यदि $f(a+b-x)=f(x)$ है,तो $\int_a^b x f(x) d x=$ . . . . . . .

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