निश्चित समाकल intlimits_{infty}^{0} frac{z e^ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{\infty}^{0} \frac{z e^{-z}}{\sqrt{1-e^{-2z}}} \, dz$.$e^{-z} = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$-e^{-z} \, dz = \cos 	heta \, d

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$\frac{\pi}{2} \ln 2$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{\infty}^{0} \frac{z e^{-z}}{\sqrt{1-e^{-2z}}} \, dz$.$e^{-z} = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$-e^{-z} \, dz = \cos 	heta \, d	heta$,जिससे $dz = -\frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} \, d	heta$ प्राप्त होता है।जब $z = \infty$,तब $e^{-z} = 0 \implies 	heta = 0$.जब $z = 0$,तब $e^{-z} = 1 \implies 	heta = \frac{\pi}{2}$.साथ ही,$z = -\ln(\sin 	heta)$.इन मानों को समाकल में रखने पर:$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{-\ln(\sin 	heta) \cdot \sin 	heta}{\cos 	heta} \cdot \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} \, d	heta$$I = -\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) \, d	heta$.मानक समाकल परिणाम $\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) \, d	heta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ का उपयोग करने पर:$I = -(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = \frac{\pi}{2} \ln 2$.

निश्चित समाकल $\int\limits_{\infty}^{0} \frac{z e^{-z}}{\sqrt{1-e^{-2z}}} \, dz$ का मान ज्ञात कीजिए।

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