int_{-2}^{2} left[ p ln left( frac{1+x}{1-x} | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = p \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + q \ln \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{-2} + r$. ध्यान दें कि $\ln \left( \frac{1-x}{1+x} \righ

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$r$ का मान

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(C) माना $f(x) = p \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + q \ln \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{-2} + r$. ध्यान दें कि $\ln \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{-2} = -2 \ln \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = 2 \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$. अतः,$f(x) = (p + 2q) \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + r$. चूंकि $\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल $[-2, 2]$ पर इस पद का समाकलन $0$ होता है। इसलिए,$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{2} r dx = r [x]_{-2}^{2} = r(2 - (-2)) = 4r$. अतः,समाकलन का मान केवल $r$ पर निर्भर करता है।

$\int_{-2}^{2} \left[ p \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + q \ln \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{-2} + r \right] dx$ का मान किस पर निर्भर करता है?

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$\int_{-2}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए। (जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।)

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