int frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} ,dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} \,dx$. माना $t = x

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left(\frac{x e^x}{1+x e^x}\right)+\frac{1}{1+x e^x}+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} \,dx$. माना $t = x e^x$. तब $dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}$. स्थिरांकों को हल करने पर,हमें $A=1, B=-1, C=-1$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$. $I = \log|t| - \log|1+t| + \frac{1}{1+t} + c$. $t = x e^x$ वापस रखने पर: $I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + \frac{1}{1+x e^x} + c$.

$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{x \, dx}{(x-1)^2(x+2)} = $

यदि $\int \frac{1}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 9)} dx = A \tan^{-1} \frac{x}{2} + B \tan^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) + C$ है,तो $A - B =$

यदि $\int \frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} d x=\frac{\sqrt{5}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}+c$ है,तो $\alpha=$

यदि $\int \frac{dx}{x^4+5x^2+4} = A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो:

मान लीजिए $I(x) = \int \frac{(x+1)}{x(1+x e^x)^2} dx, x > 0$. यदि $\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0$ है,तो $I(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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