x in (0, pi/2) के लिए int_{0}^{sin^2 x} sin^{ | vedclass

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Question

(C) माना $I(x) = \int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए लेबनीज

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$\frac{\pi}{4}$

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(C) माना $I(x) = \int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए: $I'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) + \cos^{-1}(\sqrt{\cos^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^2 x)$. चूंकि $x \in (0, \pi/2)$,$\sin x > 0$ और $\cos x > 0$,इसलिए $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$ और $\sqrt{\cos^2 x} = \cos x$. $I'(x) = (x) \cdot (2 \sin x \cos x) + (x) \cdot (-2 \cos x \sin x)$. $I'(x) = x \sin(2x) - x \sin(2x) = 0$. चूंकि अवकलज $0$ है,इसलिए $I(x)$ एक स्थिरांक है। स्थिरांक का मान ज्ञात करने के लिए $x = \pi/4$ पर मूल्यांकन करते हैं: $I(\pi/4) = \int_{0}^{1/2} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{1/2} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. सर्वसमिका $\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t} = \pi/2$ का उपयोग करते हुए: $I(\pi/4) = \int_{0}^{1/2} (\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t}) \, dt = \int_{0}^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_{0}^{1/2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$.

$x \in (0, \pi/2)$ के लिए $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x=$

$\int_{-1}^{3} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^{2}+1}{x} \right) \right] dx =$

$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x=$

कथन $(A): \int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$
कारण $(R): \int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$
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