अतिपरवलय frac{x^2}{4} - frac{y^2}{5} = 1 के न | vedclass

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Question

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 5$ है।उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \f

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$-\frac{20}{9}$

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(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 5$ है।उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $L = (ae, \frac{b^2}{a}) = (2 	imes \frac{3}{2}, \frac{5}{2}) = (3, \frac{5}{2})$ है।$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।$(x_1, y_1) = (3, \frac{5}{2})$ रखने पर,हमें $\frac{3x}{4} - \frac{y(5/2)}{5} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ हो जाता है।इसे $\frac{x}{4/3} + \frac{y}{-2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।$x$-अंतःखंड $OA = \frac{4}{3}$ और $y$-अंतःखंड $OB = -2$ है।अतः,$(OA)^2 - (OB)^2 = (\frac{4}{3})^2 - (-2)^2 = \frac{16}{9} - 4 = \frac{16 - 36}{9} = -\frac{20}{9}$।

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अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर खींची गई लंबवत दूरियों का गुणनफल है

माना कि $P(x_0, y_0)$ अतिपरवलय $3x^2 - 4y^2 = 36$ पर स्थित वह बिंदु है जो रेखा $3x + 2y = 1$ के सबसे निकट है। तब $\sqrt{2}(y_0 - x_0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$ अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 = 4$ को किस बिंदु पर स्पर्श करती है?

कथन $I$: अतिपरवलय $9x^2-16y^2-72x+96y-144=0$ की उत्केंद्रता $5/4$ है।
कथन $II$: अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की उत्केंद्रता $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ है।

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