શ્રેણી 1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ છે.$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.પ્રમાણિત સરવાળ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}n(n + 1)(2n^2 + 2n - 1)$

Vedclass · Answer

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ છે.$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:$t_r = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:$t_r = \frac{4r^3 - r}{3}$.$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.$S_n = \frac{4}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{1}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{1}{6} n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)$.

શ્રેણી $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

શ્રેણી $2 + 7 + 14 + 23 + 34 + \dots$ નું $99^{th}$ પદ શોધો.

$1^3 - 2^3 + 3^3 - \dots + 15^3$ ની કિંમત શોધો:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + 15^3$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $S_{k} = \frac{1+2+\ldots+k}{k}$ અને $\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$,જ્યાં $A, B, C, D \in \mathbb{N}$ અને $A$ નું મૂલ્ય ન્યૂનતમ છે. તો:

શ્રેણી $8, 88, 888, 8888, \ldots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module