अनंत श्रेणी {tan ^{ - 1}}left( {frac{2}{{1 - | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2r}}{{1 - {r^2} + {r^4}}}} ight)$ है।हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{{2r}}{{1

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2r}}{{1 - {r^2} + {r^4}}}} ight)$ है।हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{{2r}}{{1 + {r^4} - {r^2}}} = \frac{{\left( {{r^2} + r} ight) - \left( {{r^2} - r} ight)}}{{1 + \left( {{r^2} + r} ight)\left( {{r^2} - r} ight)}}$.सर्वसमिका ${	an ^{ - 1}}x - {	an ^{ - 1}}y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} ight)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {{r^2} + r} ight) - {	an ^{ - 1}}\left( {{r^2} - r} ight)$.प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n [ {	an ^{ - 1}}(r^2+r) - {	an ^{ - 1}}(r^2-r) ]$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_n = ( {	an ^{ - 1}}2 - {	an ^{ - 1}}0 ) + ( {	an ^{ - 1}}6 - {	an ^{ - 1}}2 ) + \dots + ( {	an ^{ - 1}}(n^2+n) - {	an ^{ - 1}}(n^2-n) )$.$S_n = {	an ^{ - 1}}(n^2+n) - {	an ^{ - 1}}0$.जब $n 	o \infty$ हो,तब सीमा लेने पर:$S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } {	an ^{ - 1}}(n^2+n) - 0 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

अनंत श्रेणी ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{1 - {1^2} + {1^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{{1 - {2^2} + {2^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{6}{{1 - {3^2} + {3^4}}}} \right) + \dots$ का योग क्या है?

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अनंत श्रेणी $\cot ^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{19}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{39}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{67}{4}\right)+\ldots \ldots$ का योग है :-

$\sum_{k=0}^{12} \frac{1}{\sin \left((k+1) \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{k \pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)} = $

श्रेणी $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n!$

योग $1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + \dots + n(n!)$ किसके बराबर है?

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