अवकल समीकरण x y^2 d y - (x^3 + y^3) d x = 0 क | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x y^2 d y = (x^3 + y^3) d x$ है।इसे $\frac{d y}{d x} = \frac{x^3 + y^3}{x y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवक

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$y^3 = 3 x^3 \log (c x)$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $x y^2 d y = (x^3 + y^3) d x$ है।इसे $\frac{d y}{d x} = \frac{x^3 + y^3}{x y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = v x$,तब $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर:$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{x^3 + v^3 x^3}{x(v x)^2} = \frac{x^3(1 + v^3)}{x^3 v^2} = \frac{1 + v^3}{v^2}$।$x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^3}{v^2} - v = \frac{1 + v^3 - v^3}{v^2} = \frac{1}{v^2}$।चरों को अलग करने पर,हमें $v^2 d v = \frac{1}{x} d x$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v^2 d v = \int \frac{1}{x} d x$।$\frac{v^3}{3} = \log |x| + C$,जहाँ $C = \log c$ है।$\frac{v^3}{3} = \log |x| + \log c = \log |c x|$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{3} (\frac{y}{x})^3 = \log |c x|$ प्राप्त होता है।$\frac{y^3}{3 x^3} = \log |c x| \Rightarrow y^3 = 3 x^3 \log |c x|$।

अवकल समीकरण $x y^2 d y - (x^3 + y^3) d x = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

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