વક્ર $y=y(x)$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y), x > 0, y > 0$ પર અભિલંબનો ઢાળ $\frac{x^{2}}{x y-x^{2} y^{2}-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય,તો $e \cdot y(e)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{d^2y}{dx^2} + \sin x = 0$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ ...... છે.

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow R$ એક સતત વિધેય છે જેથી તમામ $x \in[0, \infty)$ માટે $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ થાય. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે
$(B)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(2,-1)$ માંથી પસાર થાય છે
$(C)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-2}{4}$ છે
$(D)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-1}{4}$ છે

$(3, 4)$ માંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + (x - y) \frac{dy}{dx} - x = 0$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શું હોઈ શકે?

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

એક વિધેય $y = f(x)$ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y = \cos x - \sin x$ નું સમાધાન કરે છે,જેમાં પ્રારંભિક શરત છે કે જ્યારે $x \rightarrow \infty$ થાય ત્યારે $y$ સીમિત (bounded) રહે છે. $y = f(x)$,$y = \cos x$ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.