R त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आय | vedclass

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Question

(B) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। आकृति की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है:${r^2} + {\left( {\frac{h

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$\sqrt {{2 \over 3}} R$

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(B) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। आकृति की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है:${r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = {R^2}$${h^2} = 4({R^2} - {r^2}) \implies h = 2\sqrt {{R^2} - {r^2}}$बेलन का आयतन $V$ इस प्रकार है:$V = \pi {r^2}h = 2\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}}$अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$\frac{{dV}}{{dr}} = 2\pi \left[ {2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} \cdot ( - 2r)} \right]$$\frac{{dV}}{{dr}} = 2\pi \left[ {2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}} \right]$क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{{dV}}{{dr}} = 0$ रखने पर:$2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} = \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}$$2({R^2} - {r^2}) = {r^2}$$2{R^2} - 2{r^2} = {r^2}$$3{r^2} = 2{R^2}$${r^2} = \frac{2}{3}{R^2}$$r = \sqrt {\frac{2}{3}} R$अतः,अधिकतम आयतन वाले बेलन की त्रिज्या $\sqrt {\frac{2}{3}} R$ है।

$R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन वाले बेलन की त्रिज्या क्या होगी?

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यदि $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{\frac{{ - {t^2}}}{2}}}} \left( {1 - {t^2}} \right)\,dt$ है,तो $f(x)$ का मान $x = \dots$ पर न्यूनतम है।

फलन $f(x) = x^{40} - x^{20}$ के लिए,अंतराल $[0, 1]$ में निरपेक्ष न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

यदि $x=1$ और $x=2$ फलन $f(x)=\alpha \log x+\beta x^2+x$ के चरम बिंदु हैं,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ स्थिरांक हैं,तो $\alpha^2+2 \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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