31 वस्तुओं में से 10 वस्तुओं को चुनने के तरीक | vedclass

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Question

(A) माना $10$ समान वस्तुएँ $I$ हैं और $21$ भिन्न वस्तुएँ $D_1, D_2, \dots, D_{21}$ हैं।$10$ वस्तुओं को चुनने के लिए,हम $21$ भिन्न वस्तुओं में से $k$ व

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$2^{20}$

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(A) माना $10$ समान वस्तुएँ $I$ हैं और $21$ भिन्न वस्तुएँ $D_1, D_2, \dots, D_{21}$ हैं।$10$ वस्तुओं को चुनने के लिए,हम $21$ भिन्न वस्तुओं में से $k$ वस्तुएँ चुन सकते हैं,जहाँ $0 \le k \le 10$ है।शेष $(10-k)$ वस्तुएँ $10$ समान वस्तुओं में से चुनी जानी चाहिए।चूँकि $10$ वस्तुएँ समान हैं,उन्हें चुनने का केवल $1$ तरीका है।कुल तरीके $= \sum_{k=0}^{10} {}^{21}C_k$ हैं।हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{21} {}^{21}C_k = 2^{21}$ है।चूँकि ${}^{21}C_k = {}^{21}C_{21-k}$ है,इसलिए $\sum_{k=0}^{10} {}^{21}C_k = \sum_{k=11}^{21} {}^{21}C_k$ है।माना $S = \sum_{k=0}^{10} {}^{21}C_k$ है। तब $2S = 2^{21}$,जिसका अर्थ है $S = 2^{20}$।

$31$ वस्तुओं में से $10$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनमें से $10$ समान हैं और शेष $21$ भिन्न हैं।

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