${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}{\left( {1 - x} \right)^n}$ के विस्तार में $x$ की घातों में मध्य पद क्या है?

यदि $\left(\frac{3^{6}}{4^{4}}\right) k$,$\left(\frac{x}{4}-\frac{12}{x^{2}}\right)^{12}$ के द्विपद विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है,तो $k$ का मान ...... है।

$\left(x^{1/2} + \frac{1}{2x^{1/4}}\right)^n$ के विस्तार को $x$ की घटती घातों में व्यवस्थित करें। मान लीजिए कि पहले तीन पदों के गुणांक एक समांतर श्रेणी में हैं। तो,विस्तार में $x$ की पूर्णांक घात वाले पदों की संख्या है

${\left( x^3 + \frac{1}{x^4} \right)^n}$ के विस्तार में $x^r$ का पद प्राप्त होता है,यदि -

यदि $(1+x)^{12}$ के विस्तार में मध्य पद से समान दूरी पर स्थित पदों का अनुपात $\frac{1}{256}$ $(x \in N)$ है,तो $(1+x)^{12}$ के विस्तार के सभी पदों का योग क्या है?

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।