left(frac{1}{x}right)^{x} का अधिकतम मान क्य | vedclass

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Question

(C) माना $ y = \left(\frac{1}{x}\right)^{x} $. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $ \ln y = x \ln \left(\frac{1}{x}\right) = -x \ln x $ प्र

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$ e^{1/e} $

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(C) माना $ y = \left(\frac{1}{x}\right)^{x} $. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $ \ln y = x \ln \left(\frac{1}{x}\right) = -x \ln x $ प्राप्त होता है। $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = - (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(1 + \ln x) $ प्राप्त होता है। अतः,$ \frac{dy}{dx} = -y(1 + \ln x) $. $ \frac{dy}{dx} = 0 $ रखने पर,$ 1 + \ln x = 0 $,जिसका अर्थ है $ \ln x = -1 $,इसलिए $ x = e^{-1} = \frac{1}{e} $. अधिकतम मान की जाँच करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज $ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{dy}{dx}(1 + \ln x) - y(\frac{1}{x}) $ ज्ञात करते हैं। $ x = \frac{1}{e} $ पर,$ \ln x = -1 $,इसलिए $ \frac{d^2y}{dx^2} = 0 - y(e) = -y e अधिकतम मान $ y = \left(\frac{1}{1/e}\right)^{1/e} = e^{1/e} $ है।

$ \left(\frac{1}{x}\right)^{x} $ का अधिकतम मान क्या है?

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