h कर्ण वाले समकोण त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल | vedclass

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Question

(A) माना समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि कर्ण $h$ है,इसलिए $x^2 + y^2 = h^2$। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}xy$ है। $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{h^2}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि कर्ण $h$ है,इसलिए $x^2 + y^2 = h^2$। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}xy$ है। $A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = \frac{1}{4}x^2y^2$ को अधिकतम करेंगे। $y^2 = h^2 - x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{4}x^2(h^2 - x^2) = \frac{1}{4}(h^2x^2 - x^4)$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = \frac{1}{4}(2h^2x - 4x^3)$। $f'(x) = 0$ रखने पर,$2h^2x = 4x^3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{h^2}{2}$,इसलिए $x = \frac{h}{\sqrt{2}}$। तब $y^2 = h^2 - \frac{h^2}{2} = \frac{h^2}{2}$,इसलिए $y = \frac{h}{\sqrt{2}}$। अधिकतम क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes \frac{h}{\sqrt{2}} 	imes \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{h^2}{4}$ है।

$h$ कर्ण वाले समकोण त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

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