पृथ्वी का द्रव्यमान चंद्रमा के द्रव्यमान का $81$ गुना है और पृथ्वी की त्रिज्या चंद्रमा की त्रिज्या का $3.5$ गुना है। पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग और चंद्रमा की सतह पर पलायन वेग का अनुपात क्या होगा?

यदि $I$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है और $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $n \geq 1$ के लिए,गणितीय आगमन (mathematical induction) द्वारा क्या प्राप्त होता है?

निम्नलिखित यौगिक एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं?

$\int \frac{d x}{7+5 \cos x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

चित्र में दिखाए गए ' $\rho$ ' प्रतिरोधकता वाले एक सुचालक ब्लॉक पर विचार करें। धारा ' $I$ ',' $A$ ' पर प्रवेश करती है और ' $D$ ' से बाहर निकलती है। ' $B$ ' और ' $C$ ' के बीच विकसित वोल्टेज ' $\Delta V$ ' ज्ञात करने के लिए हम अध्यारोपण (superposition) सिद्धांत का उपयोग करते हैं। गणना निम्नलिखित चरणों में की जाती है:
$(i)$ ' $A$ ' से प्रवेश करने वाली धारा ' $I$ ' लें और मान लें कि यह ब्लॉक में एक अर्धगोलाकार सतह पर फैलती है।
(ii) ओम के नियम $E = \rho j$ का उपयोग करके ' $A$ ' से ' $r$ ' दूरी पर क्षेत्र $E(r)$ की गणना करें,जहाँ $j$ ' $r$ ' पर प्रति इकाई क्षेत्रफल धारा है।
(iii) $E(r)$ की ' $r$ ' निर्भरता से,विभव $V(r)$ प्राप्त करें।
(iv) ' $D$ ' से बाहर निकलने वाली धारा ' $I$ ' के लिए $(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को दोहराएं और ' $A$ ' तथा ' $D$ ' के परिणामों का अध्यारोपण करें।
' $A$ ' पर प्रवेश करने वाली धारा के लिए,' $A$ ' से ' $r$ ' दूरी पर विद्युत क्षेत्र क्या है?

यदि वृत्त $x^2 + y^2 + 6x - 2y + k = 0$,वृत्त $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 15 = 0$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो $k =$