$x^{2}+3 y^{2}=6$ $\Rightarrow \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$ Now, we know that any tangent to the ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}

${\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = 6{x^2} + 2{y^2}$

$x^{2}+3 y^{2}=6$ $\Rightarrow \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$ Now, we know that any tangent to the ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ is given by: $y=m x+\sqrt{a^{2} m^{2}+b^{2}}$ So, the equation of the tangent to the given ellipse is:- $y=m x+\sqrt{6 m^{2}+2}$ ...........$(1)$ Now, equation of the line through $(0,0)$ and perpendicular to $(1)$ is:- $y-0=\left(-\frac{1}{m}\right) x-0$ $\Rightarrow m=-\frac{x}{y}$ .....$(2)$ Using $( 2)$ in $(1),$ we have: $y=\left(-\frac{x}{y}\right) x+\sqrt{6\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)+2}$ $\Rightarrow y^{2}=-x^{2}+\sqrt{6 x^{2}+2 y^{2}}$ $\Rightarrow\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=6 x^{2}+2 y^{2}$

10-2. Parabola, Ellipse, HyperbolaDifficult

ઉપવલય ${x^2} + 3{y^2} = 6$ ના સ્પર્શક પર આ ઉપવલયના કેન્દ્રમાંથી દોરેલા લંબપાદનો બિંદુપથ મેળવો.

[JEE MAIN 2014]

A
${\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = 6{x^2} + 2{y^2}$
B
$\;{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = 6{x^2} - 2{y^2}$
C
$\;{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = 6{x^2} + 2{y^2}$
D
$\;{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = 6{x^2} - 2{y^2}$

Std 11
Mathematics

ધારોકે ઉપવલય $E: x^2+9 y^2=9$ એ ધન $x$-અને $y$-અક્ષોને અનુક્રમે બિંદુ $A$ અને $B$ માં છેદે છે.ધારોકે $E$ નો પ્રધાન અક્ષ એ વર્તુળ $C$ નો વ્યાસ છે.ધારોકે $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા વર્તુળ $C$ ને બિંદુ $P$ માં મળે છે.જો શિરોબિંદુઓ $A,P$ અને ઉગમબિંદુ $O$ વાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{m}{n}$ હોય, જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજય છે, તો $m-n=.......$

Difficult

[JEE MAIN 2023]

View Solution

વર્તૂળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ ના વ્યાસને ગૌણ અક્ષની અર્ધલંબાઈ તરીકે અને વર્તૂળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ ના વ્યાસને પ્રધાન અક્ષની અર્ધ લંબાઈ તરીકે લઈને એક ઉપવલય દોર્યો. જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ આગળ હોય અને તેની અક્ષો યામાક્ષો હોય, તો ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.

Difficult

View Solution

એક ગુપ્રમાં $100$ વ્યક્તિ છે કે જે પૈકી $75$ અંગ્રેજી બોલો છે અને $40$ હિન્દી બોલે છે. દરેક વ્યક્તિ બે પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલે છે. જો માત્ર અંગ્રેજી ભાષા બોલતા વ્યકિત $\alpha$ હોય અને માત્ર હિન્દી બોલતા વ્યક્તિ $\beta$ હોય તો ઉપવલય $25\left(\beta^2 x^2+\alpha^2 y^2\right)=\alpha^2 \beta^2$ ની ઉત્કેન્દૃતા $.......$ થાય.

Medium

[JEE MAIN 2023]

View Solution

ધારો કે $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ એક ઉપવલય છે. ઉપવલયો $E_i$ એવી રીતે રયવામાં આવ છ કે જેથી તેમના કેન્દ્રો અને ઉત્કેન્દ્રતાઓ એ $E_1$ ના જેટલા જ હોય, તથા $E_i$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ એ $E _{ i +1}( i \geq 1)$ ના પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ જેટલી હોય. જો ઉપવલય $E _i$ નું ક્ષેત્રફળ $A _i$ હોય, તો $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{ i =1}^{\infty} A _{ i }\right)=$, _____

Advanced

[JEE MAIN 2025]

View Solution

ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શક દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Difficult

View Solution

JEE Main

ઉપવલય ${x^2} + 3{y^2} = 6$ ના સ્પર્શક પર આ ઉપવલયના કેન્દ્રમાંથી દોરેલા લંબપાદનો બિંદુપથ મેળવો.

Similar Questions

ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શક દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.