परवलय y^2 = 4ax की उस जीवा के मध्यबिंदु का बि | vedclass

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Question

(A) माना जीवा का मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ है।परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ के अनुसार $yy_1 - 2a(x + x_1)

Vedclass · Accepted Answer

$y^2 - 2ax + 8a^2 = 0$

Vedclass · Answer

(A) माना जीवा का मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ है।परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ के अनुसार $yy_1 - 2a(x + x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ होता है।इसे सरल करने पर $yy_1 - 2ax = y_1^2 - 2ax_1$ प्राप्त होता है,या $\frac{yy_1 - 2ax}{y_1^2 - 2ax_1} = 1$।परवलय के शीर्ष $(0, 0)$ को जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं को प्राप्त करने के लिए,परवलय के समीकरण $y^2 - 4ax = 0$ को जीवा के समीकरण का उपयोग करके समघात (homogenize) बनाने पर:$y^2 - 4ax \left( \frac{yy_1 - 2ax}{y_1^2 - 2ax_1} \right) = 0$।इसका विस्तार करने पर $y^2(y_1^2 - 2ax_1) - 4axyy_1 + 8a^2x^2 = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि जीवा शीर्ष पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:$8a^2 + (y_1^2 - 2ax_1) = 0$।$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $y^2 - 2ax + 8a^2 = 0$ है।

परवलय $y^2 = 4ax$ की उस जीवा के मध्यबिंदु का बिंदुपथ क्या होगा जो शीर्ष पर समकोण अंतरित करती है?

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उस परवलय की नियता (directrix) का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका नाभि (focus) $(0,0)$ है और शीर्ष पर स्पर्शरेखा (tangent at vertex) $x-y+1=0$ है।

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