समाकलन int_{1}^{e} left( left( frac{x}{e} rig | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$. समाकलन को अलग करने पर: $

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$\frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$. समाकलन को अलग करने पर: $I = \int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx - \int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx$. प्रथम समाकलन के लिए,$u = \left( \frac{x}{e} \right)^{2x}$ लें। तब $\log_{e} u = 2x (\log_{e} x - 1)$. अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} du = 2 \log_{e} x \, dx$. जब $x=1, u = e^{-2}$ और जब $x=e, u = 1$. अतः,$\int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx = \frac{1}{2} \int_{e^{-2}}^{1} du = \frac{1}{2} (1 - e^{-2})$. दूसरे समाकलन के लिए,$v = \left( \frac{e}{x} \right)^{x}$ लें। तब $\log_{e} v = x (1 - \log_{e} x)$. अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} dv = -\log_{e} x \, dx$. जब $x=1, v = e$ और जब $x=e, v = 1$. अतः,$\int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx = -\int_{e}^{1} dv = e - 1$. कुल मान: $I = \frac{1}{2} (1 - e^{-2}) - (e - 1) = \frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$.

समाकलन $\int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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