નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} \cos(\theta + \phi) & -\sin(\theta + \phi) & \cos 2\phi \\ \sin \theta & \cos \theta & \sin \phi \\ -\cos \theta & \sin \theta & \cos \phi \end{array} \right|$ એ :

જો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} x & x & x \\ x & x^2 & x \\ x & x & x+1 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) $1$ હોય,તો:

નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?
$1$. જો $A$ એ $5 \times 5$ ક્રમનો વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોય,તો $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $5$ કરતા ઓછો હોય છે.
$2$. જો $P$ એ શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક અને $Q$ એ શૂન્યતર હાર શ્રેણિક હોય,તો $PQ$ નો નિશ્ચાયક $1$ હોય છે.
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $2$ છે.
$4$. જો રેખાઓ $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ ભિન્ન હોય અને એક બિંદુએ છેદતી હોય,તો $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $3$ છે.

$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ નો શ્રેણીકનો ક્રમ (Rank) શોધો.

નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & a & 1 \\ \cos(nx) & \cos(n+1)x & \cos(n+2)x \\ \sin(nx) & \sin(n+1)x & \sin(n+2)x \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય કોનાથી સ્વતંત્ર છે?

જો શ્રેણિક $A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.