किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र (centre of mass)

$\int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक घूर्णन करते पहिये पर एक बिंदु की तात्क्षणिक कोणीय स्थिति समीकरण $\theta(t) = 2t^3 - 6t^2$ द्वारा दी गई है। पहिये पर बल आघूर्ण (टॉर्क) $t = $ ....... $\text{sec}$ पर शून्य हो जाता है।

यदि $a>0$ है,तो $\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin ^2 x}{1+a^x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

गैस के एक निश्चित द्रव्यमान को समतापीय रूप से तब तक संकुचित किया जाता है जब तक कि उसका दबाव दोगुना न हो जाए। फिर इसे रुद्धोष्म रूप से तब तक फैलने दिया जाता है जब तक कि उसका मूल आयतन वापस न आ जाए और उसका दबाव उसके प्रारंभिक दबाव का $0.75$ गुना पाया जाता है। गैस की विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात लगभग है:

एक पिंड को पृथ्वी की सतह से पलायन वेग के आधे वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है,तो पृथ्वी की सतह से पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या है?