वृत्त x^{2}+y^{2}=2 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का | vedclass

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Question

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2$ है,अतः इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2} = \pi(\sqrt{2})^{2} = 2\pi$ है।परवलय $y^{2}=

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$\frac{1}{6}(12 \pi-1)$

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(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2$ है,अतः इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2} = \pi(\sqrt{2})^{2} = 2\pi$ है।परवलय $y^{2}=x$ और रेखा $y=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^{2}=x$ और $y=x$ की तुलना करने पर $x^{2}=x$ प्राप्त होता है,अर्थात $x(x-1)=0$,जिससे $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।परवलय और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} ight]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.अभीष्ट क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल में से उभयनिष्ठ क्षेत्रफल $A$ को घटाने पर प्राप्त होता है:$	ext{अभीष्ट क्षेत्रफल} = 2\pi - \frac{1}{6} = \frac{12\pi - 1}{6} = \frac{1}{6}(12\pi - 1)$.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

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