A = { (x,y) | y ge x^2 - 5x + 4, x + y ge 1, | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = x^2 - 5x + 4$,रेखा $y = 1 - x$,और रेखा $y = 0$ (x-अक्ष) द्वारा घिरा हुआ है।सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$y = x^2 -

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$\frac{19}{6}$

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(A) यह क्षेत्र परवलय $y = x^2 - 5x + 4$,रेखा $y = 1 - x$,और रेखा $y = 0$ (x-अक्ष) द्वारा घिरा हुआ है।सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$y = x^2 - 5x + 4$ और $y = 1 - x$ के लिए:$x^2 - 5x + 4 = 1 - x \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0$.अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ और $x=3$ पर हैं। $x=3$ पर,$y = 1-3 = -2$ है।यह क्षेत्र दो भागों से बना है:$A_1$: शीर्ष $(1,0), (3,0), (3,-2)$ द्वारा घिरा त्रिभुज। क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes (3-1) 	imes |-2| = \frac{1}{2} 	imes 2 	imes 2 = 2$.$A_2$: $x=3$ से $x=4$ तक परवलय और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल। क्षेत्रफल $A_2 = |\int_{3}^{4} (x^2 - 5x + 4) dx| = |[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_3^4| = |(\frac{64}{3} - 40 + 16) - (9 - \frac{45}{2} + 12)| = |(\frac{64}{3} - 24) - (21 - 22.5)| = |-\frac{8}{3} - (-1.5)| = |-\frac{8}{3} + \frac{3}{2}| = |-\frac{16}{6} + \frac{9}{6}| = |-\frac{7}{6}| = \frac{7}{6}$.कुल क्षेत्रफल $= A_1 + A_2 = 2 + \frac{7}{6} = \frac{19}{6}$ वर्ग इकाई।

$A = \{ (x,y) | y \ge x^2 - 5x + 4, x + y \ge 1, y \le 0 \}$ द्वारा वर्णित क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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