વિધાન -1: શ્રેણી 1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) વિધાન $-2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3)$ એ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે. તેનું વિસ્તરણ કરતા: $(1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \dots + (n^3

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $-1$ સાચું છે,વિધાન $-2$ સાચું છે; વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

Vedclass · Answer

(D) વિધાન $-2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3)$ એ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે. તેનું વિસ્તરણ કરતા: $(1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$. તેથી,વિધાન $-2$ સાચું છે.વિધાન $-1$: શ્રેણી $\sum_{k=1}^{20} ((k-1)^2 + (k-1)k + k^2)$ છે.નોંધો કે $(k-1)^2 + (k-1)k + k^2 = \frac{k^3 - (k-1)^3}{k - (k-1)} = k^3 - (k-1)^3$.$k=1$ માટે,$T_1 = 1^3 - 0^3 = 1$.$k=2$ માટે,$T_2 = 2^3 - 1^3 = 7 = 1+2+4$.$k=20$ માટે,$T_{20} = 20^3 - 19^3 = 8000 - 6859 = 1141 = 361 + 380 + 400$.સરવાળો $\sum_{k=1}^{20} (k^3 - (k-1)^3) = 20^3 = 8000$ થાય છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.વિધાન $-1$ એ વિધાન $-2$ માં આપેલ નિત્યસમ પરથી સીધું મેળવી શકાય છે,તેથી વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

વિધાન $-1$: શ્રેણી $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ નો સરવાળો $8000$ છે.
વિધાન $-2$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.

Similar Questions

$6$ વડે ભાગતા $4$ શેષ વધતી હોય તેવી તમામ બે અંકની સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $\frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 3 + 5} + \dots$ નું $n^{th}$ પદ શું હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

વિધાન $-1$: શ્રેણી $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ નો સરવાળો $8000$ છે.વિધાન $-2$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.