दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात $4:9$ है। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?

आकृति में,$ABC$ और $DBC$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित दो त्रिभुज हैं। यदि $AD$,$BC$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि $\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(DBC)} = \frac{AO}{DO}$ है।

त्रिभुज की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है। यदि यह एक समकोण त्रिभुज है,तो इसके कर्ण की लंबाई लिखिए।
$3 \text{ cm}, 8 \text{ cm}, 6 \text{ cm}$

आकृति में,$O$ त्रिभुज $ABC$ के अंदर स्थित एक बिंदु है,$OD \perp BC$,$OE \perp AC$ और $OF \perp AB$ है। सिद्ध कीजिए कि $AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2}$।

आकृति में,रेखाखंड $XY$,$\Delta ABC$ की भुजा $AC$ के समांतर है और यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। अनुपात $\frac{AX}{AB}$ ज्ञात कीजिए।

आकृति में,दो जीवाएँ $AB$ और $CD$ एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $\Delta APC \sim \Delta DPB$.